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水野誠「マーケティングの進化学」

60年前と今、新商品“普及の仕方”は同じか?ロジスティック曲線とバス・モデルより読み解く

文=水野誠/明治大学商学部教授
60年前と今、新商品“普及の仕方”は同じか?ロジスティック曲線とバス・モデルより読み解くの画像1
「Getty Images」より

 新型コロナウイルス感染症の拡大が始まってから1年以上経ちました。昨年4月に寄稿した記事では「感染が指数関数的に拡大する」とはどういうことかについて書きました。そして、それはある水準で頭打ちになるので、ロジスティック関数(曲線)というシンプルな数理モデルで表されると述べました。私の専門はマーケティングですから、いったんウイルス感染の話題から離れ、新製品や新サービスを対象としたロジスティック・モデルについて事例を踏まえて話してみたいと思います。

「普及」を意味する英単語はdiffusionで、物理学などでは「拡散」と訳されます。この1年間に著しく拡散したのが新型コロナウイルスですが、それに付随してマスクを着用し社会的距離をとる行動様式も拡散=普及しました。今後についていえば、ワクチンの接種がどれだけの速度で普及するかが関心を集めそうです。望まないのに感染してしまうウイルスと違い、新しい行動様式(ニューノーマル)やワクチン接種の普及は、個人がどれだけそれを望むかに大いに依存します。したがってマーケティング・サイエンスで培われた普及モデルの知識が参考になると期待されます。

ロジスティック曲線の便利な性質

 前回の記事で、感染拡大に関するロジスティック関数は

[感染者の増分] = β× [その時点までの感染者数] × [その時点の未感染者数],  β > 0

であると述べました。いいかえると、未感染者のうち新たに感染する人の比率は、これまでの感染者数にβという係数を掛けたものだということです。世のなかに感染者が増えるほど感染しやすくなるのは当然として、ここでは係数βを一定としている点に特徴があります(現実には政府による行動制限や自主的な行動変容が起きると、βは低下します)。もう1つ、拡散の開始時点にどれだけ感染者がいたかも加味してロジスティック曲線が描かれます(誰も感染者がいないとき、感染は広がりようがありません)。

 さて、ウイルスへの感染から新製品の採用に話題を変え、新製品の普及率(累積採用率)にロジスティック曲線を当てはめることを考えます。ロジスティック曲線は係数βと開始時点での普及率を変えることで、図1のように様々な軌跡を描きます。いずれも、基本的にS字型の曲線になります。

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 ロジスティック曲線の便利な点は、普及率を

普及率÷(100 − 普及率)

と変換し、さらに対数変換すると(これらを合わせてロジスティック変換といいます)、図1は図2のように変わり、普及曲線が直線になることです。そしてこの直線の傾きが、もとのロジスティック関数における係数βになります。したがって、普及率のデータが得られた場合、普及率をロジスティック変換した値を縦軸に、時間を横軸にしたグラフを描き、それがほぼ直線になっていれば、ロジスティック曲線に従っていると判断できます。さらにβを知りたければ、このグラフの横軸をx、縦軸をyとする回帰分析を行い、xの回帰係数を求めればよいのです。

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